Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Okay, hallo, guten Morgen allerseits.

Wir haben die Vorlesung begonnen mit der klassischen Boltzmann-Verteilung,

aus der man zum Beispiel lernen kann, was macht so ein Gas, zumindest bei höheren Temperaturen,

wie ist die Geschwindigkeitsverteilung, was macht das Gas in einem externen Potential.

Und dann sind wir jetzt zur Quantenmechanik übergegangen.

Zum Beispiel könnten wir ja fragen, die Atome des Gases haben interne Zustände,

Energieniveaus, die man mit der Quantenmechanik ausrechnet.

Und die sind nicht unbedingt immer im Grundzustand, sondern es kann zum Beispiel passieren,

dass bei einem Stoß die Atome angeregt werden.

Und das heißt, je nach Temperatur sind die angeregten Zustände mehr oder weniger besetzt,

und das können wir ausrechnen, nämlich mit dieser Boltzmann-Verteilung,

die nichts anderes ist als E hoch minus die Energie vom Zustand durch die thermische Energie.

Und wir wollen heute ein paar allgemeinere Eigenschaften von dieser Boltzmann-Verteilung verstehen,

die immer anwendbar sind, egal wie kompliziert das quantenmechanische System wird,

weil vielleicht haben wir gar nicht nur ein einzelnes Atom,

sondern wir haben einen ganzen Festkörpern, einen Kristall mit vielen Elektronen und allem Möglichen,

und trotzdem kann man diese allgemeinen Eigenschaften verwenden.

Okay, also das Bild, was wir da vor Augen haben, ist folgendes,

ein paar Energieniveaus, die wir aus der Quantenmechanik berechnet haben beispielsweise.

Und wenn ich jetzt das System plötzlich messe, dann finde ich es vielleicht mal in diesem ersten angeregten Energieniveau.

Beim nächsten Versuch, ein bisschen später, finde ich es irgendwo hier oben, aber das passiert ziemlich selten.

Meistens finde ich es hier unten im Grundzustand.

Und was wir dann wirklich berechnen wollen, sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das eine oder andere rauskommt,

und die male ich hier gerne mit solchen dicken Kreisen, deren Radius abnimmt, je nach Wahrscheinlichkeit.

Also hier ist die größte Wahrscheinlichkeit, da ist die Wahrscheinlichkeit geringer,

und wir hatten gesagt, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir in so einem Zustand N sind,

die geht wie E hoch minus die Energie von dem Zustand durch die thermische Energie.

Und dann muss es noch normiert sein, wenn ich das jetzt summieren würde, über alle Energieniveaus käme nicht eins raus,

deswegen muss ich noch durch eine passende Konstante dividieren, die nennt sich Z, nämlich die Zustandsumme,

und sie heißt so, weil es einfach eine Summe über alle Zustände ist, wo man wieder diese Boltzmanngewichte aufaddiert.

Okay, dann hatten wir noch eine kleine Abkürzung eingeführt, eins durch kBT ist sozusagen die inverse Temperatur,

und das nennt sich better oft. Okay.

Wenn man diese Wahrscheinlichkeiten hat, kann man auch alle möglichen Eigenschaften mitteln.

Also es könnte ja sein, dass die verschiedenen Zustände einen verschiedenen Erwartungswert vom Ortsoperator haben,

oder vom Impuls oder sonst was, oder das Impulsquadrat ist verschieden für die verschiedenen Energieeigenzustände,

und egal welchen Operator ich anschaue, in der Quantenmechanik mitle ich ja so, dass ich den Operator nehme,

und dann eben den quantenmechanischen Erwartungswert bilde, und das bedeutet, ich nehme die Funktion,

die Wellenfunktion, die mich interessiert, wende den Operator darauf an, zum Beispiel wenn es der Ortsoperator wäre,

und ich bin in der Ortsbasis, dann multipliziere ich einfach mit x.

Wenn es der Impulsoperator wäre, und ich bin weiterhin in der Ortsbasis, dann muss ich nehmen minus i h quer,

mal die Ableitung nach x angewendet auf diese Wellenfunktion, egal wie a aussieht, ich wende a an auf meine Wellenfunktion,

und dann nehme ich das Skalarprodukt von links mit der Wellenfunktion selbst, und das wäre der quantenmechanische Erwartungswert.

Der gilt aber nur, wenn ich wirklich weiß, dass ich in dem Zustand n bin.

Jetzt fluktuiert das System aber ständig hin und her zwischen den verschiedenen Zuständen,

also muss ich das am besten gewichten, mit der Wahrscheinlichkeit in dem Zustand zu sein, und über alle Zustände summieren.

Und was dann rauskommt, nennen wir halt den thermischen Erwartungswert sozusagen,

und den deute ich hier in der Vorlesung meistens so an, dass ich auch wieder diese Spitzenklammern nehme,

aber ich schreibe eben keinen Zustand mehr dahin, weil ich ermittle über alle möglichen Zustände.

Also das ist dann unser thermischer Erwartungswert.